100年過去了，現(xiàn)在回過頭來看，對(duì)希爾伯特提出的23個(gè)問題，有不少評(píng)論。很多人認(rèn)為，這些問題對(duì)推動(dòng)20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了很大的作用，當(dāng)然也有評(píng)論曾指出其不足之處，例如，這23個(gè)問題中未能包括拓樸學(xué)、微分幾何等在20世紀(jì)成為前沿學(xué)科領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)問題
，除數(shù)學(xué)物理外很少涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)，等等，當(dāng)然更不會(huì)想到20世紀(jì)電腦的大發(fā)展及其對(duì)數(shù)學(xué)的重大影響。20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展實(shí)際上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了希爾伯特所預(yù)示的范圍。 希爾伯特是19世紀(jì)和20世紀(jì)數(shù)學(xué)交界線上高聳著的三位偉大數(shù)學(xué)家之一，另兩位是龐加萊（1854—1912）及克萊因（1849—1925）。他們的數(shù)學(xué)思想及對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，既反射出19
世紀(jì)數(shù)學(xué)的光輝，也照耀著20世紀(jì)數(shù)學(xué)前進(jìn)的道路。
希爾伯特是在上一次世紀(jì)交替之際作講演的，現(xiàn)在又一個(gè)新的世紀(jì)開始了，再來看看他的講演，其中一些話仍然適用，例如在講演一開始，他說：“我們當(dāng)中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看在今后的世紀(jì)里我們這門科學(xué)發(fā)展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數(shù)學(xué)思潮將追求什么樣的特殊目標(biāo)？在廣闊而豐富的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)域，新世紀(jì)將會(huì)帶來什么樣的新方法和新成果？”他還說：“歷史教導(dǎo)我們，科學(xué)的發(fā)展具有連續(xù)性。我們知道，每個(gè)時(shí)代都有它自己的問題，這些問題后來或者得以解決，或者因?yàn)闊o所裨益而被拋到一邊并代之以新的問題。因?yàn)橐粋�(gè)偉大時(shí)代的結(jié)束，不僅促使我們追溯過去，而且把我們的思想引向那未知的將來。”
20世紀(jì)無疑是一個(gè)數(shù)學(xué)的偉大時(shí)代，21世紀(jì)的數(shù)學(xué)將會(huì)更加輝煌。“每個(gè)時(shí)代都有它自己的問題”，20世紀(jì)來臨時(shí)，希爾伯特提出了他認(rèn)為是那個(gè)世紀(jì)的23個(gè)問題。這些問題對(duì)20
世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了很大的推動(dòng)作用，但20世紀(jì)數(shù)學(xué)的成就卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出他所提出的問題。
那么21世紀(jì)的問題又是什么呢？希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出這些問題時(shí)，才38歲，但已經(jīng)是當(dāng)時(shí)舉世公認(rèn)的德高望重的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家之一。大家知道，2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)將在中國北京召開，這是國際數(shù)學(xué)家大會(huì)第一次在發(fā)展中國家召開，那么在這新舊世紀(jì)交替之際，會(huì)不會(huì)有像希爾伯特這樣具有崇高威望的人在會(huì)上提出他認(rèn)為的21世紀(jì)的數(shù)學(xué)問題或是以其他的形式展望21世紀(jì)的數(shù)學(xué)？這些年來，已有不少數(shù)學(xué)家提出自己認(rèn)為的21世紀(jì)的數(shù)學(xué)問題，但往往是“仁者見仁，智者見智”。
二、百年前講演的啟示
對(duì)希爾伯特的23個(gè)問題，不在這里介紹了，因?yàn)樗搅酥袑W(xué)數(shù)學(xué)的范圍。但百年前，希爾伯特演講中對(duì)數(shù)學(xué)的一些見解卻是非常深刻的，百年過去了，重讀他的演講，依然得到很多啟示。在這里我只想講一講對(duì)他演講中一段話的粗淺認(rèn)識(shí)。
從17世紀(jì)60年代微積分發(fā)明以來，數(shù)學(xué)得到了極大的發(fā)展，分支也愈來愈多。開始時(shí)一些大數(shù)學(xué)家對(duì)各個(gè)分支都懂，并且做出了很大的貢獻(xiàn)。但后來數(shù)學(xué)的分支愈分愈細(xì)，全面懂得各個(gè)分支的數(shù)學(xué)家愈來愈少，到19世紀(jì)末，希爾伯特作講演時(shí)，已經(jīng)是這種情況。于是在講演中，他說了這樣一段話：“然而，我們不禁要問，隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷擴(kuò)展，單個(gè)的研究者想要了解這些知識(shí)的所有部門豈不是變得不可能了嗎？為了回答這個(gè)問題，我想指出：數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊，數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固的。因此，對(duì)于個(gè)別的數(shù)學(xué)工作者來說，只要掌握了這些有力的工具和簡單的方法，他就有可能在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中比其他科學(xué)更容易地找到前進(jìn)的道路。”100年過去了，數(shù)學(xué)發(fā)展得更為廣闊與深入，分支愈來愈多，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已有60個(gè)二級(jí)學(xué)科、400多個(gè)三級(jí)學(xué)科，所以希爾伯特的這段話現(xiàn)在顯得更為重要。不僅如此，希爾伯特的這段話實(shí)際上
講的是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過程，十分深刻地揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展是一個(gè)新陳代謝、吐故納新的過程
，是一些新的有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)，與一些陳舊的、復(fù)雜的東西被拋棄的過程
，是“高級(jí)”的數(shù)學(xué)替代“低級(jí)”的數(shù)學(xué)的過程，而“數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固
的”。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)的歷史中，一些新的有力的工具、更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)，往往標(biāo)志著一個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，標(biāo)志著一些老的分支的衰落甚至結(jié)束。
回顧一下我們從小開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，就是在重復(fù)這個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的過程。一些數(shù)學(xué)雖然后來被更有力的工具和更簡單的方法所產(chǎn)生的新的數(shù)學(xué)所替代了，即“低級(jí)”的被“高級(jí)
”的所替代了，但在人們一生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，卻不能只學(xué)習(xí)“高級(jí)”的，而完全不學(xué)習(xí)
“低級(jí)”的，完全省略掉學(xué)習(xí)“低級(jí)”的過程。這是因?yàn)槿藗冸S著年齡的不斷增長，學(xué)習(xí)與他的年齡與智力相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)才是最佳選擇。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，沒有“低級(jí)” 的數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)，很難理解與學(xué)習(xí)好“高級(jí)”的數(shù)學(xué)。
以下我們從希爾伯特講演中這一段精辟的論述的角度來認(rèn)識(shí)我們的中小學(xué)的數(shù)學(xué)課程。我只是從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史的角度來討論問題，為大家從數(shù)學(xué)教育的角度來討論問題作參考。但我必須強(qiáng)調(diào)的是：從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史的角度來考慮問題與從數(shù)學(xué)教育的角度來考慮問題雖有聯(lián)系，但兩者是不一樣的。
三、算術(shù)與代數(shù)
人類有數(shù)的概念，與人類開始用火一樣古老，大約在30萬年前就有了，但是有文字記載的數(shù)到公元前3400年左右才出現(xiàn)，至于數(shù)的四則運(yùn)算則更晚。在我國，《九章算術(shù)》是古代
數(shù)學(xué)最重要的著作，是從先秦到西漢中葉的眾多學(xué)者不斷修改、補(bǔ)充而成的一部數(shù)學(xué)著作。在這本書中有分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則、比例算法、盈不足術(shù)、解三元線性代數(shù)方程組、正負(fù)數(shù)
、開方以及一些計(jì)算幾何圖形的面積與體積的方法等。在西方，也或遲或早地出現(xiàn)了這些內(nèi)
容，而這些內(nèi)容包括我們從小學(xué)一直到中學(xué)所學(xué)習(xí)“算術(shù)”課程的全部內(nèi)容。也就是說人類經(jīng)過了幾千年才逐步弄明白建立起來的“算術(shù)”的內(nèi)容，現(xiàn)在每個(gè)人在童年時(shí)代花幾年就全
部學(xué)會(huì)了。對(duì)于“算術(shù)”來講，“真正的進(jìn)展”是由于“更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)
現(xiàn)”，這個(gè)工具與方法是“數(shù)字符號(hào)化”，從而產(chǎn)生了另一門數(shù)學(xué)“代數(shù)”，即現(xiàn)在中學(xué)中的“代數(shù)”課程的內(nèi)容。在我國，約13世紀(jì)五六十年代的著作中，有“天元術(shù)”和“四元術(shù) ”，也就是相當(dāng)于現(xiàn)在用x,y,z,w來表述四個(gè)未知數(shù)。有了這些“元”，也就可以解一些代數(shù)方程與聯(lián)立線性代數(shù)方程組了。西方徹底完成數(shù)字符號(hào)化是在16世紀(jì)。現(xiàn)在中學(xué)學(xué)習(xí)的“
代數(shù)”的內(nèi)容包括：一元二次方程的解，多元（一般為二元、三元，至多四元）聯(lián)立方程組的解，等等。當(dāng)然在“數(shù)字符號(hào)化”之前，一元二次方程的解、多元聯(lián)立方程組的解已經(jīng)出現(xiàn)，例如我國古代已經(jīng)有一些解一般數(shù)字系數(shù)的代數(shù)方程的“算法程序”，但這些都是用文字來表達(dá)的，直到“數(shù)字符號(hào)化”之后，才出現(xiàn)了現(xiàn)在中學(xué)代數(shù)內(nèi)容的表達(dá)形式。
由“數(shù)字符號(hào)化”而產(chǎn)生的中學(xué)“代數(shù)”的內(nèi)容，的的確確是“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”。
“代數(shù)”的確是“更有力的工具和更簡單的方法”，“算術(shù)”顧名思義，可以理解為“計(jì)算的方法”，而“代數(shù)”可以理解為“以符號(hào)替代數(shù)字”，即“數(shù)字符號(hào)化”。人類從“算術(shù)
”走向“代數(shù)”經(jīng)歷了1000多年。但在中學(xué)的課程中，卻只花短短的幾年，就可以全部學(xué)會(huì)這些內(nèi)容。
回憶我在童年時(shí)代，在小學(xué)學(xué)習(xí)“算術(shù)”課程時(shí)，感到很難。例如求解“雞兔同籠”題
，當(dāng)時(shí)老師講的求解的方法，現(xiàn)在已完全記不得了，留下的印象是感到很難，而且納悶的是
：雞與兔為何要關(guān)在一個(gè)籠子里？既然數(shù)得清有多少個(gè)頭及多少只腳，為何數(shù)不清有多少只
雞與多少只兔？等到初中時(shí)學(xué)習(xí)了“代數(shù)”課程，才恍然大悟，這不過是二元一次聯(lián)立代數(shù)
方程組，解方程組十分簡單方便，這不僅可以用來解“雞兔同籠”，即使“鴨狗同室”的問題一樣可以解。因此，“代數(shù)”顯然比“算術(shù)”來得“高級(jí)”，這的確是“更有力的工具和
更簡單的方法”，而這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論，并把“陳舊的、復(fù)雜的
東西拋到一邊”，也就是從“代數(shù)”的角度來理解“算術(shù)”，可以理解得更深刻，且可以把 “算術(shù)”中一些復(fù)雜的、處理個(gè)別問題的方法拋到一邊去。
在這里，我要重復(fù)說一遍，盡管中學(xué)的“代數(shù)”比小學(xué)的“算術(shù)”來得“高級(jí)”，是“
更有力的工具與更簡單的方法”，但并不意味著小學(xué)的“算術(shù)”就可以不必學(xué)了，因?yàn)椋海?）“算術(shù)”中的一些內(nèi)容不能完全被“代數(shù)”所替代，如四則運(yùn)算等；（2）即使能被替代內(nèi)容，適當(dāng)?shù)貙W(xué)習(xí)一些，有利于對(duì)“代數(shù)”內(nèi)容的認(rèn)識(shí)與理解；（3）從教育學(xué)的角度考
慮，這里有循序漸進(jìn)的問題，有學(xué)生不同年齡段的接受能力的問題，等等。
作為中學(xué)“代數(shù)”中的一個(gè)重要內(nèi)容是解多元一次聯(lián)立方程組。在中學(xué)“代數(shù)”的教材中，一般著重講二元或三元一次聯(lián)立方程組，所用的方法往往是消元法。但是，如果變?cè)獮樗膫�(gè)或更多時(shí)，就得另想辦法來建立起多元一次聯(lián)立方程組的理論。經(jīng)過很多年的努力，矩陣的想法產(chǎn)生了，這不但給出了多元一次聯(lián)立代數(shù)方程組的一般理論，而且由此建立起一門新的學(xué)科——“線性代數(shù)”。這是又一次“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”，由于“更有力的工具和更簡單的方法”即“矩陣”的發(fā)現(xiàn)，不僅對(duì)多元一次聯(lián)立代數(shù)方程組的理解更為清楚，更為深刻，而且由于有了統(tǒng)一處理的方法，就可以把個(gè)別地處理方程組的方法“拋到一邊”。
中學(xué)“代數(shù)”中的另一個(gè)重要內(nèi)容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算術(shù)》中已有解一般一元二次方程的方法，后來有很多的發(fā)展。直到19世紀(jì)，為了解決什么樣的特殊的代數(shù)方程能用根式來求解這個(gè)問題，伽羅瓦（1811—1832）建立起“群”的概念。這就意味著現(xiàn)代代數(shù)理論的產(chǎn)生，這是又一次“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”。有了“群”以及后來發(fā)展起來的現(xiàn)代代數(shù)理論，使人們可以更清楚、更深刻地理解以往高次代數(shù)方程求根式解的問題。
四、幾何與三角
人類在很早的時(shí)候，就有各種計(jì)算面積與體積的公式或經(jīng)驗(yàn)，也得到了不少幾何定理，例如著名的畢達(dá)哥拉斯定理等。但在古代，幾何的代表作則是歐幾里得的《原本》。現(xiàn)在中學(xué)里學(xué)習(xí)的“平面幾何”與“立體幾何”的基本內(nèi)容，是2300年前《原本》已有的內(nèi)容。從《原本》問世以來，幾何領(lǐng)域一直是它的一統(tǒng)天下，這種現(xiàn)象持續(xù)了1000多年。“真正的進(jìn)展”是由笛卡兒與費(fèi)馬建立起的“解析幾何”，其基本思想是在平面上引進(jìn)“坐標(biāo)”，使得平面上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，于是幾何問題就可以用代數(shù)形式表達(dá)，而幾何問題的求解就歸化為代數(shù)問題的求解了。笛卡兒甚至還提出過一個(gè)大膽的計(jì)劃，即：任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解。 “解析幾何”的產(chǎn)生可以理解為變量數(shù)學(xué)的開始，它為微積分的產(chǎn)生創(chuàng)造了條件。由于引進(jìn)了坐標(biāo)，幾何問題歸結(jié)為代數(shù)問題，于是可以用一些代數(shù)的工具與方法來處理，從而使幾何問題得解，這種思想與方法，使整個(gè)數(shù)學(xué)面目為之一新。 既然“解析幾何”是“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”，“解析幾何”比起“平面幾何”與“
立體幾何”都來得高級(jí)，那么“平面幾何”與“立體幾何”是不是就不要學(xué)習(xí)了，直接學(xué)習(xí)
“解析幾何”就可以了呢？從教育學(xué)的觀點(diǎn)，這顯然是不對(duì)的。我們所說的“把陳舊的、復(fù)
雜的東西拋到一邊”，是指當(dāng)“解析幾何”產(chǎn)生之后，那種用原來的方法來創(chuàng)造與發(fā)明幾何定理的時(shí)代已經(jīng)過去了，雖然這種做法延續(xù)了1000多年，但這并不意味著可以將“平面幾何
”與“立體幾何”“拋到一邊”。在中學(xué)必須學(xué)習(xí)“平面幾何”與“立體幾何”至少有以下
幾點(diǎn)理由：（1）可以認(rèn)識(shí)人們生活的三維歐氏空間中一些最基本的幾何關(guān)系與性質(zhì)；（2）不學(xué)習(xí)“平面幾何”與“立體幾何”，就無法學(xué)習(xí)“解析幾何”與“微積分”；（3）“平面幾何”與“立體幾何”是訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)格邏輯思維的最好的方法之一，這種訓(xùn)練比上一門“
形式邏輯”課更為有效，它對(duì)學(xué)生終生有用。當(dāng)然中學(xué)“平面幾何”與“立體幾何”應(yīng)講授
多少內(nèi)容是一個(gè)值得探討的問題，完全取消是絕對(duì)錯(cuò)誤的，但做過多的幾何難題似乎也是不 必要的。 古典幾何的另一個(gè)“真正的進(jìn)展”，則是“非歐幾何”的產(chǎn)生，這是數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代貢獻(xiàn)。 如前所述，歐幾里得的《原本》從誕生直到18世紀(jì)末，在幾何領(lǐng)域，它是一統(tǒng)天下，幾乎成為“科學(xué)圣經(jīng)”。但在同時(shí)，人們多認(rèn)為五條公設(shè)中的前四條簡潔、明了，無可非議，而對(duì)第五公設(shè)，即“若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交”，則感到它不像一條公設(shè)，而更像一條定理，即可以從其他公設(shè)、公理及定理中推導(dǎo)出來。 2000多年來，不知有多少數(shù)學(xué)家致力于用其他的公設(shè)、公理及定理來證明第五公設(shè)，甚
至有人為之付出了整個(gè)一生，但還是以失敗告終。直到19世紀(jì)，由高斯、波爾約及羅巴切夫
斯基創(chuàng)立了“非歐幾何學(xué)”，才結(jié)束了這件公案。“非歐幾何學(xué)”一反過去人們?cè)噲D從其他公設(shè)、公理及定理來證明第五公設(shè)的做法，認(rèn)為第五公設(shè)不可能從其他的公設(shè)、公理及定理中推導(dǎo)出來，而發(fā)展起第五公設(shè)不成立的新的幾何學(xué)。高斯稱之為“非歐幾里得幾何學(xué)”，簡稱“非歐幾何學(xué)”。1854年黎曼在“非歐幾何學(xué)”的思想基礎(chǔ)上建立了更為廣泛的幾何學(xué)，即“黎曼幾何學(xué)”，開創(chuàng)了幾何學(xué)甚至整個(gè)數(shù)學(xué)的新紀(jì)元，而其發(fā)展更是一日千里。眾所周知，愛因斯坦的相對(duì)論正是以“黎曼幾何”作為其數(shù)學(xué)工具的。 經(jīng)歷了2000多年的思索與努力，“非歐幾何”的產(chǎn)生的確是“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”
，把已有的理論——?dú)W幾里得幾何學(xué)，從更高、更深的角度去理解，而把那些陳舊的思想—
—試圖用其他公設(shè)、公理及定理來證明第五公設(shè)的一切做法“拋到一邊”。 在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，還有一門叫“三角”。這門課程，主要討論六個(gè)三角函數(shù)的相互關(guān)系及計(jì)算。人類對(duì)三角學(xué)的研究可以追溯到公元1～2世紀(jì)。當(dāng)時(shí)的天文學(xué)研究，已經(jīng)為三角學(xué)奠定了基礎(chǔ)，例如已經(jīng)有了類似于正弦及正弦的表等。經(jīng)過了幾百年的努力，到9～10世
紀(jì)，三角函數(shù)的研究已系統(tǒng)化，到了13世紀(jì)，球面三角也基本完成。因此，現(xiàn)在中學(xué)學(xué)習(xí)的 “三角學(xué)”，其內(nèi)容基本上在千年前就形成了。 人們從更高、更深的角度來認(rèn)識(shí)“三角學(xué)”，是由于復(fù)數(shù)的引入。人們對(duì)復(fù)數(shù)的思考由來已久，例如對(duì)方程x2＋1=0的根的思考，但人們認(rèn)真地將虛數(shù)=i引入數(shù)學(xué)則是16世紀(jì)的事 了。之后歐拉建立了著名的歐拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ，使得三角學(xué)中的問題都可以化
歸為復(fù)數(shù)來討論，于是三角學(xué)中一大批問題得以輕松地解決。有了復(fù)數(shù)與歐拉公式，使人們對(duì)三角學(xué)的已有理論的理解更為深刻，并可以把一些原始的、復(fù)雜的處理三角學(xué)的方法與工 具“拋到一邊”。 我還得重復(fù)一遍，盡管復(fù)數(shù)與歐拉公式比三角學(xué)來得“高級(jí)”，但并不意味著中學(xué)課程可以不學(xué)習(xí)三角學(xué)。事實(shí)上，三角學(xué)是一門實(shí)用的數(shù)學(xué)分支，在很多其他學(xué)科中都有用。
五、微積分 “微積分”實(shí)在是太重要了，不論你將來從事什么工作，理、工、醫(yī)、農(nóng)、文、商等等
，都得學(xué)“微積分”。可以這樣說，中學(xué)課程中學(xué)習(xí)的各門數(shù)學(xué)，從某種意義上講正是為學(xué)習(xí)微積分作準(zhǔn)備的，一切大學(xué)的數(shù)學(xué)課程也都是以微積分為基礎(chǔ)的。
微積分是從四個(gè)方面的問題來的：（1）求曲線的長度、區(qū)域的面積、物體的體積等；
（2）求曲線的切線；（3）求運(yùn)動(dòng)物體的速度；（4）求一些問題的極大、極小值。 當(dāng)然，這些問題在一些簡單的情形下，可以不用微積分，但當(dāng)情形略為復(fù)雜一些時(shí)，則非用微積分不可。而反過來，微積分的誕生，不僅能解決上述這些問題，而且其用處大大地超出了這些問題。 微積分的一些原始的思想，可以追溯到很遠(yuǎn)。例如，公元3世紀(jì)誕生的劉徽的“割圓術(shù)
”就孕育著一些樸素的微積分的想法。但是，微積分的誕生是在牛頓及萊布尼茨建立了“微
積分的基本定理”，即指出微分與積分互為逆運(yùn)算之后。計(jì)算積分不再要像以前那樣想一些
特殊的辦法進(jìn)行逐個(gè)處理，而可以統(tǒng)一處理了，從而使微積分不再成為幾何學(xué)的一部分，而 成為一門獨(dú)立的學(xué)科。 微積分的建立不僅使得數(shù)學(xué)的面貌徹底改變，而且將微積分應(yīng)用到其他學(xué)科，使整個(gè)自然科學(xué)也徹底地改變了面貌。
牛頓與萊布尼茨的微積分基本定理的建立，促使了微積分的產(chǎn)生，的確是“數(shù)學(xué)中一步
真正的進(jìn)展”，的確是“更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)”。這不僅有助于我們對(duì)已有理論的理解，如使我們對(duì)前面提到的四個(gè)問題原有的理解，更為清楚與深刻，而且的確可以
把以往“陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊”，例如，對(duì)個(gè)別曲線用一些特殊的方法來計(jì)算其面 積與切線的方法都可以拋棄了。
六、幾點(diǎn)啟示 （1）一門學(xué)科的產(chǎn)生往往有多方面的因素，我在這里只說了一個(gè)因素，而這個(gè)因素在我看來是主要因素之一。 （2）一門學(xué)科對(duì)其他學(xué)科的影響也是多方面的，例如，中學(xué)的“
代數(shù)”課程，從方程式的角度導(dǎo)致了“線性代數(shù)”及“抽象代數(shù)”的產(chǎn)生，但從排列組合的
角度導(dǎo)致了組合數(shù)學(xué)的產(chǎn)生；又例如，“非歐幾何”的產(chǎn)生，引發(fā)了“幾何基礎(chǔ)”的深入討 論等。
從上面的論述中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”的“更有力的工具和
更簡單的方法”往往是由于看來是十分簡單明了的想法。如從算術(shù)走向代數(shù)，關(guān)鍵的一步是 “數(shù)字符號(hào)化”，即將數(shù)字用a,b,c，…x,y,z來表示。但正是這簡單的一步，引發(fā)了“數(shù)學(xué)
中一步真正的進(jìn)展”，而人們認(rèn)識(shí)到“數(shù)字符號(hào)化”，卻花了上千年的時(shí)間。同樣，由“平面幾何”“立體幾何”走向“解析幾何”，關(guān)鍵的一步是“引進(jìn)坐標(biāo)”，即將平面的點(diǎn)與數(shù)一一對(duì)應(yīng)。現(xiàn)在看來這一步也是十分自然的，人們是樂于接受的，但正是這樣看似簡單的一
步，引發(fā)了“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”。對(duì)于其他的情形，也是一樣，不在此一一重復(fù)了。 仔細(xì)想想，“數(shù)字符號(hào)化”比算術(shù)中的一道難題可能更易于理解，“數(shù)字符號(hào)化”之后
，解算術(shù)難題則輕而易舉。同樣“引入坐標(biāo)”，比“平面幾何”中的一道難題的解可能更易
于理解，“引入坐標(biāo)”之后，解幾何難題則比較容易了。當(dāng)然，“代數(shù)”比“算術(shù)”來得“
高級(jí)”，“解析幾何”比“平面幾何”來得“高級(jí)”，可“高級(jí)”的反而容易，“低級(jí)”的反而難，這就是“高”“低”與“難”“易”之間的辯證關(guān)系。而更令人深思的是：重要的
是要有創(chuàng)新的思想，“數(shù)字符號(hào)化”“引入坐標(biāo)”這些看似簡單的想法，卻是創(chuàng)新思想。有了這種創(chuàng)新思想，才會(huì)有“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”，否則即使是解決“算術(shù)”難題的能人，是做“平面幾何”難題的高手，如果無這種創(chuàng)新思想，那么難題做得再多，也不可能引發(fā)
“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”。當(dāng)然，這種創(chuàng)新思想來之不易，往往要經(jīng)過幾百年乃至千年的
積累才能形成。經(jīng)過了長期的積累，走向成熟，就會(huì)有數(shù)學(xué)大師總結(jié)與提升前人的成果，進(jìn)而提出這種創(chuàng)新的思想，這就是數(shù)學(xué)的歷史。 當(dāng)然，我這樣說，并不是否定做一些算術(shù)或幾何的難題。從培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力來看，讓學(xué)生花太多的時(shí)間來做太多的難題當(dāng)然不必要，但適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生做一些數(shù)學(xué)難題還是必要的，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思想是有好處的，因?yàn)閯?chuàng)新思想不是一天能培養(yǎng)出來的，要日積月累，有一個(gè)從量變到質(zhì)變的過程。看看歷史上的那些大數(shù)學(xué)家，哪一位沒有做過難題？從教學(xué)的角度來看，問題是要適量。至于中小學(xué)教師，為了提高教學(xué)質(zhì)量，對(duì)一些難題進(jìn)行研究、分析與探討，那是理所當(dāng)然的事。從因材施教、提高同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與能力的角度出發(fā)，來舉辦一些數(shù)學(xué)活動(dòng)，如“數(shù)學(xué)競賽”等有意義的活動(dòng)更是必要的了。從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史角度與從數(shù)學(xué)教育的角度來考慮問題終究是不一樣的。 如果以上算作數(shù)學(xué)歷史的一點(diǎn)啟示，那么以下所說的也可以算作數(shù)學(xué)歷史的另一點(diǎn)啟示
。
從上述的敘述中還可以看到，數(shù)學(xué)的歷史也像戰(zhàn)爭史。“一將功成萬骨枯”！想想從歐幾里得的《原本》誕生之后，幾千年來，不知有多少數(shù)學(xué)家前仆后繼地試圖用其他公設(shè)、公理及定理來證明第五公設(shè)。這些人都失敗了，他們都默默無聞，數(shù)學(xué)史上沒有記載他們的名字。但正是由于千千萬萬個(gè)無名的數(shù)學(xué)家的失敗，才導(dǎo)致了高斯、波爾約、羅巴切夫斯基從另外的角度來處理這個(gè)問題。他們成功了，他們成了英雄，但他們的成功是在幾千年來千千萬萬個(gè)數(shù)學(xué)家失敗的基礎(chǔ)上獲得的，所以可以說是“一將功成萬骨枯”！
同樣自從二次、三次及四次一元代數(shù)方程式得到根式解后，幾百年來，也不知有多少數(shù)學(xué)家前仆后繼地試圖找到五次及更高次一元代數(shù)方程式的根式解，但他們都失敗了。這些人在數(shù)學(xué)史上默默無聞，誰也不會(huì)記起他們的名字，但他們的犧牲，導(dǎo)致了拉格朗日、阿貝爾與伽羅瓦從新的角度來考察這個(gè)問題。他們成功了，名垂數(shù)學(xué)史，但他們的成功也是在幾百年來無數(shù)默默無聞的數(shù)學(xué)家失敗的基礎(chǔ)上獲得的。這也可說是“一將功成萬骨枯”！
這樣的例子還可以舉出很多。
這些數(shù)學(xué)的歷史，給我們以深刻的啟示：我們應(yīng)該如何來選擇數(shù)學(xué)問題，如何來思考與處理數(shù)學(xué)問題，才能盡量避免不必要的犧牲，獲得成功。
百年前，希爾伯特在他那著名的講演中，用以下這段話作為結(jié)束語：“數(shù)學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一
，是這門科學(xué)固有的特點(diǎn)，因?yàn)樗且磺芯_自然科學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，為了圓滿實(shí)現(xiàn)這個(gè)崇高的目標(biāo)，讓新世紀(jì)給這門科學(xué)帶來天才的大師和無數(shù)熱誠的信徒吧！” 我深信，21世紀(jì)一定會(huì)“給這門科學(xué)帶來天才的大師”，而且其中肯定有許多來自我們中國！
2004年4月14日
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