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有很長(zhǎng)一段時(shí)間，大約是幾百年，人們對(duì)“零”意義和作用的認(rèn)識(shí)是有些模糊的。其實(shí)這也很好理解，因?yàn)椤傲恪钡囊馑疾幌衿渌臄?shù)字那么直觀。設(shè)想在古時(shí)候，如打獵打到一頭野豬，兩只野兔和三只野雞，這個(gè)數(shù)量都是可以一個(gè)一個(gè)數(shù)出來(lái)的，人們就是借助實(shí)際的物體的數(shù)量來(lái)認(rèn)識(shí)這些數(shù)字的。當(dāng)時(shí)人們并沒(méi)有考慮用什么東西代表“沒(méi)有”這種情形。到后來(lái)在數(shù)量增大到一定程度的時(shí)候，有了“進(jìn)位”問(wèn)題的時(shí)候，人們才用一個(gè)圓形圈或方形的口的符號(hào)來(lái)代表空位，但它只是被當(dāng)作一個(gè)特殊的對(duì)象來(lái)看待，它并不能參與運(yùn)算，所以在一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里，人們都沒(méi)有給“零”一個(gè)合法的數(shù)字身份。
今天人們能夠很容易地理解“有幾個(gè)”與“一個(gè)都沒(méi)有”只是在數(shù)量的多少上有區(qū)別，還有在除法運(yùn)算中“零”不能做分母,除此之外，它其他九個(gè)數(shù)字的地位都是一樣的，一樣可以參與數(shù)學(xué)的運(yùn)算。盡管古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家很早就對(duì)“數(shù)”性質(zhì)和關(guān)系有很多的研究，如奇數(shù)、偶數(shù)、完美數(shù)，親和數(shù)等，但是他們對(duì)零并沒(méi)有給予太多的關(guān)注。希臘哲學(xué)家亞里士多德認(rèn)為，“零”是非法的，它破壞了一致性，把“零”當(dāng)作一個(gè)普通的數(shù)會(huì)導(dǎo)致不可理解的結(jié)果。他當(dāng)時(shí)可能是沒(méi)有辦法來(lái)解決，“零”作為分母時(shí)，怎么解釋它的意義和定義它的結(jié)果。這樣一個(gè)對(duì)現(xiàn)代人來(lái)說(shuō)是微不足道的問(wèn)題，然而在古代有好幾百年都一直無(wú)法取得突破。
“零”的意義
恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“零是任何一個(gè)確定的量的否定，所以不是沒(méi)有內(nèi)容的。相反地，零是具有非常確定的內(nèi)容的。……零不只是一個(gè)非常確定的數(shù)，而且它本身比其他一切被它所限定的數(shù)都更重要，事實(shí)上，零比其他一切數(shù)都有更豐富的內(nèi)容。”
在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，“零”在不同的情況下有多種含義。
1
表示“空位”的零，在位值制記數(shù)法中，零作為填補(bǔ)空位的符號(hào)。單獨(dú)一個(gè)空位零不具有任何數(shù)量意義，必須依附于另一個(gè)非零數(shù)碼，才能表達(dá)數(shù)量。早期巴比倫楔形文書和宋元以前的中國(guó)籌算記數(shù)法，都留出空位表示零，只是沒(méi)有符號(hào)。
2
表示“沒(méi)有”的零——數(shù)量零（或絕對(duì)零、“整數(shù)零”），零在任何計(jì)量單位中表示“沒(méi)有”、“無(wú)”。
3 分析學(xué)家眼中的極限零，就像惠施說(shuō)的：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。”的含義。 華羅庚說(shuō)：“當(dāng)n大時(shí)，雖小，但并不是零，這就是萬(wàn)年不竭的道理。”實(shí)際上，分析學(xué)家運(yùn)用求極限的方法得到的極限零是一個(gè)無(wú)窮小量。
“零”的表示
“零”作為記數(shù)法中的“空位”，在位值制記數(shù)方式的文明中不可缺少，只不過(guò)各種文明采取不同的方式，大部分文明沒(méi)有引入數(shù)碼而以空位表示。公元前3世紀(jì)，巴比倫人曾引進(jìn)專門記號(hào)表示空位，宋元以前的中國(guó)籌碼記數(shù)等，印度人和瑪雅人采用了符號(hào)，瑪雅20進(jìn)位制中的零用有像眼睛或貝殼的符號(hào)表示。但他們的表示方法并不完善。
“零”最初是用空格口表示，后用點(diǎn)●表示，而用圓圈符號(hào)“0”表示“零”也是印度人的一項(xiàng)偉大發(fā)明，它最早出現(xiàn)于9世紀(jì)，人們?cè)谝粋�(gè)叫“瓜廖爾”的地方的一塊石碑上發(fā)現(xiàn)了它。
實(shí)際上，人們?cè)趯?duì)于“零”的意義和作用的認(rèn)識(shí)花了更長(zhǎng)的時(shí)間，因此遲到的“0”，并非是“零”的概念和意義不存在，而是對(duì)它一直沒(méi)有完整和清晰的認(rèn)識(shí)。 下面我們來(lái)看人們是經(jīng)歷了一個(gè)怎樣漫長(zhǎng)的過(guò)程才認(rèn)識(shí)“零”的。
“零”的認(rèn)識(shí)過(guò)程
▲ 公元前3000年，巴比倫人就已經(jīng)懂得使用零來(lái)避免混淆。
▲ 公元前2500年左右，印度最古老的文獻(xiàn)《吠陀》已有“0”這個(gè)符號(hào)的應(yīng)用，當(dāng)時(shí)它表示空的位置。
▲ 公元前七、八世紀(jì)，印度人就普遍使用十進(jìn)位值制記數(shù)法，婆羅米文字中出現(xiàn)過(guò)九個(gè)數(shù)碼，梵文中都出現(xiàn)過(guò)，一種流行的觀點(diǎn)是認(rèn)為印度人以零表示“無(wú)”概念與佛教的“空”（梵文）有關(guān)，但這種說(shuō)法沒(méi)有明確的根據(jù)，只不過(guò)這種意義的確是較早地出現(xiàn)于印度文明中。
▲據(jù)史料記載，托勒密在公元一百三十年左右時(shí)使用巴比倫人的六十進(jìn)制系統(tǒng)連同表示空白位置的符號(hào)O。這個(gè)期間托勒密在數(shù)字間及數(shù)字尾端使用這個(gè)符號(hào)。這時(shí)把零看作空位置的思想基本上是確立了。在這個(gè)時(shí)候，人們看到的O，它代表的是空位。
▲ 事實(shí)上有證據(jù)顯示在公元二百年的印度就有位置數(shù)字系統(tǒng)的空白位置表示符號(hào)的使用了，但是一些歷史家將它們視為偽造而不去注意到它們。
▲ 到公元前三世紀(jì)，印度出現(xiàn)了整套的數(shù)字，但在各地區(qū)的寫法并不完全一致，其中最有代表性的是婆羅門式：這一組數(shù)字在當(dāng)時(shí)是比較常用的。它的特點(diǎn)是從“1”到“9”每個(gè)數(shù)都有專字。現(xiàn)代數(shù)字就是由這一組數(shù)字演化而來(lái)。在這一組數(shù)字中，還沒(méi)有出現(xiàn)“0”（零）的符號(hào)。
關(guān)于公元前二世紀(jì)至公元后三世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)，可考證的資料非常少，但值得慶幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地區(qū)發(fā)現(xiàn)了這一時(shí)期的，書寫在樺樹皮上的所謂“巴克沙利（bakhshali）手稿”。
特別值得注意的是該書使用了一些數(shù)學(xué)符號(hào)，出現(xiàn)了10個(gè)完整的十進(jìn)制數(shù)碼，用點(diǎn)●表示“零”。
▲ “0”這個(gè)數(shù)字是到了笈多王朝（公元320—550年）時(shí)期才出現(xiàn)的。在公元四世紀(jì)完成的數(shù)學(xué)著作《太陽(yáng)手冊(cè)》中，已使用“0”的符號(hào)，當(dāng)時(shí)只是實(shí)心小圓點(diǎn)“
●”。 這樣一套從“0”到“9”的數(shù)字就趨于完善了。這是古代印度人民對(duì)世界文化的巨大貢獻(xiàn)。
▲ 公元550年印度天文學(xué)家瓦拉哈米希拉論述了0的加減運(yùn)算。
▲ 公元628年婆羅摩笈多在《宇宙開端》中寫道：“負(fù)數(shù)減去零是負(fù)數(shù)，正數(shù)減去零是正數(shù)，零減去零什么也沒(méi)有……”，但是仍然沒(méi)有把零當(dāng)作與其他數(shù)字一樣看待。
▲ 可以確定的是在公元650年左右，印度的數(shù)學(xué)家就把“零”當(dāng)作一個(gè)數(shù)字了。
▲ 公元773年，印度一位天文學(xué)家在訪問(wèn)現(xiàn)伊拉克首都巴格達(dá)期間，將印度的這種記數(shù)法介紹給了阿拉伯人，這樣就將印度數(shù)字傳入了阿拉伯，后來(lái)又傳至歐洲。歐洲人接受了它，由于是從阿拉伯傳入歐洲的，所以稱之為阿拉伯?dāng)?shù)字，成為國(guó)際通用的數(shù)字系統(tǒng)。
▲ 用圓圈符號(hào)“0”表示“零”也是印度人的一項(xiàng)偉大發(fā)明，目前掌握的最早的證據(jù)是公元876年，“0”出現(xiàn)在一個(gè)叫瓜廖爾的地方的一塊石碑上。
▲ 大約在11世紀(jì)，有十個(gè)數(shù)字的完整印度數(shù)字系統(tǒng)趨于成熟。印度人不僅把“0”看作是記數(shù)法中的空位，而且也把它看成是可參與運(yùn)算的一個(gè)特殊的數(shù)。
印度人是比較早從他們的 “無(wú)” 與學(xué)的“空”，來(lái)感知“零”的。我們看到
從僅僅表示有無(wú)和空位到把看成一個(gè)與其他數(shù)字一樣可以參與運(yùn)算的數(shù)，大約是經(jīng)過(guò)了幾百年，跨出這一步是多么的艱難。
▲ 印度人的概念向東延伸到了中國(guó)，在公元1247年中國(guó)數(shù)學(xué)家秦九韶所寫的數(shù)學(xué)專論中就使用了O 這個(gè)符號(hào)來(lái)代表零。
▲ 公元1202年斐波那契在《算盤書》中，正式介紹，“這是印度的九個(gè)數(shù)碼：987654321，
加上阿拉伯人稱之為“零” 的符號(hào)“0”，任何數(shù)都能夠表示出來(lái)。”
斐波那契是最早將有關(guān)數(shù)字系統(tǒng)的新觀念帶進(jìn)歐洲的重要人物，但是斐波那契并不能勇敢地把零看成是與其它九個(gè)數(shù)字一樣的數(shù)，證據(jù)是他只是把“零”讀做“符號(hào)”零，卻不是叫做“數(shù)字”零。因此盡管將印度數(shù)字介紹給歐洲人是斐波那契為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出的最重要的貢獻(xiàn)，但是他對(duì)零的認(rèn)識(shí)還沒(méi)有達(dá)到印度數(shù)學(xué)家和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家們那樣清晰的程度，特別是對(duì)“零”是數(shù)字這個(gè)事實(shí)，他還是有些猶豫的。
如果你細(xì)心觀察的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒(méi)有“零”。其實(shí)在公元5世紀(jì)時(shí)，“0”已經(jīng)傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用“0”。有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用“0”的一些好處和說(shuō)明，就被教皇召去，施行了拶刑，使他再也不能握筆寫字。
實(shí)際上，用“零”代表“沒(méi)有”和“零”的概念一直存在著，同時(shí)用“零”表示空位的方法也是長(zhǎng)期一直都在使用，但是把“沒(méi)有”，“空、占位”和無(wú)窮小量等多個(gè)意義集成在一起，賦予“零”一個(gè)比較完整的意義，這是一直到公元1600年前后才實(shí)現(xiàn)的，人們到那時(shí)才對(duì)“零”有了比較清晰的認(rèn)識(shí)，我們看到認(rèn)識(shí)零的過(guò)程前后大約經(jīng)歷了數(shù)千年時(shí)間。
大家都知道數(shù)學(xué)具有抽象性的特點(diǎn)，而從人們認(rèn)識(shí)“零”的過(guò)程，你會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)完成“零”這個(gè)概念的抽象，其實(shí)是經(jīng)過(guò)多么漫長(zhǎng)的過(guò)程，并不像想象中那么的簡(jiǎn)單。我們現(xiàn)在無(wú)法想象沒(méi)有“零”的時(shí)候，對(duì)許多的數(shù)學(xué)研究有多么的不方便。卡丹在沒(méi)有使用到零的情形下，解決了三次及四次的方程式。如果他那個(gè)時(shí)候就有“零”的話，他會(huì)比較容易的發(fā)現(xiàn)和解決這些問(wèn)題。
回過(guò)頭來(lái)看，我們可以說(shuō)，首先把“零”看成是一個(gè)數(shù)字，而不是一個(gè)特殊的符號(hào)，使它能夠參與運(yùn)算，就是一個(gè)非常重大的進(jìn)步；其次“零”與負(fù)數(shù)以及無(wú)窮小量的思想引入，在數(shù)學(xué)史上都是非常重大的思想突破。
法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)寫道：“用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。”
專門研究數(shù)論的數(shù)學(xué)大師哈代有一次到印度去領(lǐng)一個(gè)獎(jiǎng)，他被邀請(qǐng)?jiān)跁?huì)上發(fā)表演說(shuō)。他上臺(tái)第一句話說(shuō)：“印度對(duì)人類的貢獻(xiàn)是‘零’。”
這時(shí)全場(chǎng)鴉雀無(wú)聲，人們?cè)阢读巳腌娭蟛欧从尺^(guò)來(lái)，然后全場(chǎng)哄堂大笑。數(shù)學(xué)大師用最簡(jiǎn)單的一句話，將“印度人對(duì)數(shù)學(xué)所做的重要貢獻(xiàn)”高度概括出來(lái)，真是讓人佩服和傾倒。陳之藩先生盛贊哈代說(shuō)：“這是幾百年才可能培養(yǎng)出來(lái)的花朵。”
“零”這個(gè)數(shù)字真的是印度人對(duì)數(shù)學(xué)的一個(gè)大貢獻(xiàn)。沒(méi)有“零”，不僅是數(shù)字系統(tǒng)不完整，還有許多數(shù)學(xué)概念的發(fā)展就會(huì)遇到很大困難，知識(shí)系統(tǒng)的形成就會(huì)有很大的不同。“零”這個(gè)概念實(shí)在是太重要了，因此人們對(duì)“零”有了比較清楚的認(rèn)識(shí)被看作是在數(shù)學(xué)發(fā)展史上取得的重要進(jìn)展。在我國(guó)古代“零”叫做金元數(shù)字,意即極為珍貴的數(shù)字。
關(guān)于零的歷史，有兩本書《從零開始》和《零的故事》是專門講述這個(gè)專題的，從巴比倫開始，經(jīng)過(guò)希臘、印度、阿拉伯、中世紀(jì)、科學(xué)時(shí)代，一直講到二十世紀(jì)，里面有許多的關(guān)于零的有趣的故事。你如果有興趣，可以讀一讀。
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